\( \pi \) 는 대체 얼마?
01/03/2016
에드거 소텔 얀 마텔이 쓴 파이 이야기 라는 소설이 있다. 원제는 Life of pi 인데 영화로도 만들어졌고 포스터가 인상적인데, 소년과 호랑이가 말 그대로 한 배에 탄 모습이다.
영화는 보지 않았지만 책은 읽었고 주인공이 배를 타기까지만 버티면 그 뒤 내용은 순식간에 읽어내릴 수 있었다. 특히 열린 결말이라 더욱 여운이 오래 갔던 것으로 기억한다.
며칠 전 갑자기 이 포스터가 머리에 떠오르면서 아르키메데스가 원에 내/외접하는 다각형을 사용하여 원주율을 어림했다는 내용이 생각났다.
대체 왜 이런 생각이 나는 지는 모르겠으나 어떻게 하면 될 지 한 번 해보고 싶어졌다.
반지름이 1인 원둘레는 \( 2 \pi \) 이고 삼각형을 외접시키면 이 삼각형의 둘레보다 작으므로
\( 2 \pi < 6 x \) 가 되어 결국 \( \pi < 3 \tan60^{\circ} \sim 5.19 \)
사각형을 외접시키면
동일하게 \( 2 \pi < 8 x \) 가 되어 결국 \( \pi < 4 \)
이쯤되면 대충 각이 나오는데 \( n \) 각형일 경우 아래와 같이
가 되어 결국 \( \pi < n \cdot \tan \theta_{n} = n \cdot \tan\frac{180^{\circ}}{n} \)
따라서 일단 삼각함수값은 삼각함수표가 계산한다 치면 \( n \) 이 1000 이면 \( \pi < 1000 \cdot \tan \frac{180^{\circ}}{1000} \sim 3.14160298 \cdots \) 가 되고 \( n \) 을 \( 10^{4} \) 로 하면 \( \pi < 10000 \cdot \tan 0.018 \sim 3.14159275694 \cdots \).
오오 무언가 굉장히 익숙한 숫자들의 배열이 나오고 있어.
이제 \( \pi \) 를 직접 구하는 대신 가능한 작은 \( \theta \) 에 대해 \( \frac{180^{\circ}}{\theta} \cdot \tan \theta \) 값을 구할 수 있는가의 문제로 바뀌게 된다.
먼저 \( \sin( 2 \theta) = 2 \cdot \sin \theta \cos \theta = 2 \cdot \sin \theta \cdot \sqrt{1 - \sin^{2} \theta} \) 가 되어 \( \sin 2n \) 을 \( \sin n \) 으로 나타낼 수 있으며
그런데 \( \tan \theta = \frac {\sin \theta}{\cos \theta} \) 이고 \( \sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1 \) 이므로 \( \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\sqrt{1-\sin^{2} \theta}} \) 가 되어 \( \sin \) 값으로만 표현할 수 있다.
그러므로 \( \theta \) 의 값을 절반으로 계속 줄인 \( \sin \theta \) 의 값을 계산할 수 있으므로 굳이 나는 해 볼 생각이 없지만 원하는 정확도 만큼 \( \pi \) 의 근사값을 구할 수 있게 된다.
이것 말고도 두 세가지 더 \( \pi \) 의 근사값을 구할 방법이 생각이 났지만 이미 여기까지 수식을 입력하는데 지쳐 왜 이걸 하고 있나 생각이 들어-)- 숨을 좀 고르고 다음을 기약하도록 한다.
영화는 보지 않았지만 책은 읽었고 주인공이 배를 타기까지만 버티면 그 뒤 내용은 순식간에 읽어내릴 수 있었다. 특히 열린 결말이라 더욱 여운이 오래 갔던 것으로 기억한다.
며칠 전 갑자기 이 포스터가 머리에 떠오르면서 아르키메데스가 원에 내/외접하는 다각형을 사용하여 원주율을 어림했다는 내용이 생각났다.
대체 왜 이런 생각이 나는 지는 모르겠으나 어떻게 하면 될 지 한 번 해보고 싶어졌다.
반지름이 1인 원둘레는 \( 2 \pi \) 이고 삼각형을 외접시키면 이 삼각형의 둘레보다 작으므로
\( 2 \pi < 6 x \) 가 되어 결국 \( \pi < 3 \tan60^{\circ} \sim 5.19 \)
사각형을 외접시키면
동일하게 \( 2 \pi < 8 x \) 가 되어 결국 \( \pi < 4 \)
이쯤되면 대충 각이 나오는데 \( n \) 각형일 경우 아래와 같이
가 되어 결국 \( \pi < n \cdot \tan \theta_{n} = n \cdot \tan\frac{180^{\circ}}{n} \)
따라서 일단 삼각함수값은 삼각함수표가 계산한다 치면 \( n \) 이 1000 이면 \( \pi < 1000 \cdot \tan \frac{180^{\circ}}{1000} \sim 3.14160298 \cdots \) 가 되고 \( n \) 을 \( 10^{4} \) 로 하면 \( \pi < 10000 \cdot \tan 0.018 \sim 3.14159275694 \cdots \).
오오 무언가 굉장히 익숙한 숫자들의 배열이 나오고 있어.
이제 \( \pi \) 를 직접 구하는 대신 가능한 작은 \( \theta \) 에 대해 \( \frac{180^{\circ}}{\theta} \cdot \tan \theta \) 값을 구할 수 있는가의 문제로 바뀌게 된다.
먼저 \( \sin( 2 \theta) = 2 \cdot \sin \theta \cos \theta = 2 \cdot \sin \theta \cdot \sqrt{1 - \sin^{2} \theta} \) 가 되어 \( \sin 2n \) 을 \( \sin n \) 으로 나타낼 수 있으며
그런데 \( \tan \theta = \frac {\sin \theta}{\cos \theta} \) 이고 \( \sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1 \) 이므로 \( \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\sqrt{1-\sin^{2} \theta}} \) 가 되어 \( \sin \) 값으로만 표현할 수 있다.
그러므로 \( \theta \) 의 값을 절반으로 계속 줄인 \( \sin \theta \) 의 값을 계산할 수 있으므로 굳이 나는 해 볼 생각이 없지만 원하는 정확도 만큼 \( \pi \) 의 근사값을 구할 수 있게 된다.
이것 말고도 두 세가지 더 \( \pi \) 의 근사값을 구할 방법이 생각이 났지만 이미 여기까지 수식을 입력하는데 지쳐 왜 이걸 하고 있나 생각이 들어-)- 숨을 좀 고르고 다음을 기약하도록 한다.